Составление  уравнений  движения

Существуют разные методы. Наиболее распространенные - принцип Да­ламбера и уравнения Лагранжа второго рода.

Принцип Даламбера основан на сведении задач динамики к задачам статики путем приложения к массам сил инерции. Уравнения движения записываются непосредственно как сумма активных сил, реакций и сил инерции, действующих вдоль рассматриваемой коор­динате.

Уравнения Лагранжа обычно записывают в виде

,

где Eк, EП и Ф - энергии системы: кинетическая, потенциальная и функция рассеивания Ф; Qi - внешняя сила, действующая вдоль координаты qi. Нужно иметь в виду, что Ек, записанная в декартовых координа­тах, является функцией только скоростей и не зависит от координатыqi. Однако, записанная в обобщенных координатах, Ек может быть функцией qi и qi'.

Внешняя сила Qi при необходимости находится как производная виртуальной работы W по qi: .

Полная кинетическая энергия .

Потенциальная энергия (понимается как приращение при переме­щении масс)

,

где ci, cjj - жесткости линейные и угловые упругих звеньев;

Di, ej - линейные и угловые деформации.

Функция рассеивания , где Fi - сила трения.

Если Fi = biqi ' и bi = const, то

Для силы постоянного трения F = Fо sqn (qi‘) и .

Пример 1. Используя принцип Даламбера, записать уравнения движения для трехмассовой динамической модели (рис. 5).

Рис. 5. Трехмассовая динамическая модель

Решение. Суммируя крутящие моменты, действующие вдоль обобщенных координат j1, j2 и j3, получим:

J1j1”+M1=M0;

J2j2”-M1+M2=0;

J3j3”-M2=0,

где M1 = Mb1+Mc1 = b1() + c1(j1-j2);

M2 = Mb2+Mc2 = b2() +c2(j2-j3).

После простых преобразований получаем систему уравнений относительно углов поворота масс ji:

(J1j1”+ b1 + c1j1) – (b1 + c1j2) = M0;

[J2j2”+(b1+b2)+(c1+c2)j2] – (b1+c1j1) – (b2+c2j3) = 0;

(J3j3”+ b2 + c2j3) – (b2 + c2j2) = 0.

Пример 2. Используя уравнения Лагранжа II рода, вывести уравнения движения для подвески автомобиля (рис. 6).

Решение. Кинетическая энергия системы

Eк = 0,5(mz’2 +Jj’2 +m1) .

Приняв за начало координат положение статического равновесия, получим для потенциальной энергии

Еп = 0,5(ср1,

где Di – деформации упругих элементов (рессор и шин):

Dр1 = x1 – z1; Dр1 = x1 – z1; Dш1 = q1 - x1; Dш2 = q2 - x2.

Перемещения z1 и z2 подрессоренной массы m над балками переднего и заднего мостов соответственно равны: z1 = z + aj и z2 = z - bj.

Рис. 6. Трехмассовая динамическая модель подвески автомобиля

С учетом сказанного выражение для потенциальной энергии принимает вид:

Еп = 0,5[ср1(x1-z-aj)2+ср2(x1-z+bj)2+сш1(q1-x1)2+сш2(q2-x2)2].

Энергия, рассеиваемая в системе:

Ф = 0,5(kр1.

После дифференцирования энергий и подстановки полученных производных в уравнения Лагранжа, число которых равно числу обобщенных координат, получаем искомую систему уравнений.

Численное решение дифференциальных уравнений

Численными методами решается уравнение первого порядка в виде: y' = f(x,y) с заданными начальными условиями x0, y0, где x и y - независимая (обычно время) и зависимая переменные. В дальнейшем будем считать такое уравнение записанным в стан­дартном виде.