Частотные  характеристики  объекта

Частотные характеристики оценивают свойства объекта при воздействии на него гармонических возмущений. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только амплитудных частотных характеристик (АЧХ) и собственных частот объектов. Частотные характеристики самым тесным образом связаны с передаточными функциями. Для получения частотных характеристик достаточно в передаточной функции W(s) заменить s на jw. В результате получается комплексная частотная характеристика (КЧХ) W(jw). Все остальные характеристики являются ее частными случаями.

Амплитудные частотные характеристики

Амплитудная частотная характеристика представляет собой отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного гармонического воздействия различной частоты.

АЧХ можно найти из КЧХ, разложив последнюю на вещественную ReW и мнимую ImW части:

W(jw) = ReW + jImW, где j = .

Тогда АЧХ будет равна

A(w) = .

Пример. Найти АЧХ для объекта, поведение которого описывается уравнением

a0y”+a1y’+a2y=bx,

Решение. Передаточная функция равна

W(s)=

После замены s на jw получаем

W(jw) =

Разделив последнее выражение на вещественную и мнимую части, после простых преобразований находим АЧХ

A(w) =

Более просто АЧХ находится при использовании выражения

A(w) = .

Типичный график АЧХ показан на рис. 15.

Рис. 15. Пример графика амплитудной частотной характеристики объекта.

Точки максимумов АЧХ соответствуют резонансным частотам объекта. При уменьшении трения в системе эти максимумы увеличиваются, стремясь к бесконечности при уменьшении трения до нуля.

Собственные колебания и формы

Собственными называют периодические колебания консервативной систе­мы, совершающиеся исключительно под воздействием инерционных и упругих сил. Для возбуждения таких колебаний достаточно приложить к системе какое-нибудь начальное возмущение, т. е. вывести ее из состояния равновесия. После прекращения действия возмущения в системе устанавливаются собственные колебания. Углы поворота масс описываются уравнением (например, рис.14 а)

ji = åAij sin(wjt + aj),

где i – номер массы , j – порядковый номер собственной частоты, aj – фазовый угол, Aij – амплитуда колебаний i – ой массы на j – ой собственной частоте.

Из формулы следует, что в общем случае все массы системы совершают сложное колебательное движение, называемое полигармоническим. Можно выбрать такие начальные возмущения, при которых все массы будут совершать гармонические колебания с некоторой одной частотой wj, но с разными амплитудами. Эти колебания называют главными или нормальными колебаниями:

jij = Aij sin(wjt + aj).

Одинаковый фазовый угол aj означает, что массы системы одновременно проходят через положение равновесия и одновременно достигают максимальных значений. Совокупность амплитуд называют формой колебаний. У каждой собственной частоты имеется своя форма колебаний, называемая главной. Число форм колебаний равно числу собственных частот системы. В теории колебаний доказывается, что энергия одной формы колебаний не может переходить в энергию колебаний другой формы.